مقالات

3.5: حل المعادلات المثلثية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حل المعادلات المثلثية الخطية في الجيب وجيب التمام.
  • حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية واحدة.
  • حل المعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة.
  • حل المعادلات المثلثية ذات الشكل التربيعي.
  • حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات الأساسية.
  • حل المعادلات المثلثية ذات الزوايا المتعددة.
  • حل مسائل المثلث القائم الزاوية.

يُعرف طاليس من ميليتس (حوالي 625-547 قبل الميلاد) بأنه مؤسس الهندسة. الأسطورة هي أنه حسب ارتفاع الهرم الأكبر بالجيزة في مصر باستخدام نظرية مثلثات متشابهةالذي طوره بقياس ظل عصاه. استنادًا إلى النسب ، فإن لهذه النظرية تطبيقات في عدد من المجالات ، بما في ذلك الهندسة الكسورية والهندسة والهندسة المعمارية. غالبًا ما يتم العثور على زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض باستخدام مثلثات متشابهة.

في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، نظرنا في المتطابقات المثلثية. في هذا القسم ، نبدأ دراستنا للمعادلات المثلثية لدراسة سيناريوهات العالم الحقيقي مثل إيجاد أبعاد الأهرامات.

حل المعادلات المثلثية الخطية في الجيب وجيب التمام

المعادلات المثلثية هي ، كما يوحي الاسم ، معادلات تتضمن الدوال المثلثية. متشابهة من نواحٍ عديدة لحل المعادلات متعددة الحدود أو المعادلات المنطقية ، فقط القيم المحددة للمتغير ستكون حلولًا ، إذا كانت هناك حلول على الإطلاق. غالبًا ما نحل المعادلة المثلثية خلال فترة زمنية محددة. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، سيُطلب منا إيجاد جميع الحلول الممكنة ، وبما أن الدوال المثلثية دورية ، تتكرر الحلول خلال كل فترة. بمعنى آخر ، قد تحتوي المعادلات المثلثية على عدد لا حصر له من الحلول. بالإضافة إلى ذلك ، مثل المعادلات المنطقية ، يجب النظر في مجال الوظيفة قبل أن نفترض أن أي حل صالح. ال فترة لكل من دالة الجيب ودالة جيب التمام هي (2 pi ). بمعنى آخر ، كل (2 pi ) وحدة ، فإن ملف ص-تكرار القيم. إذا احتجنا إلى إيجاد جميع الحلول الممكنة ، فعلينا إضافة (2 pi k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح ، إلى الحل الأولي. تذكر القاعدة التي تعطي التنسيق لذكر جميع الحلول الممكنة لوظيفة حيث تكون الفترة (2 pi ):

[ sin theta = sin ( theta pm 2k pi) ]

توجد قواعد مماثلة للإشارة إلى جميع الحلول الممكنة للدوال المثلثية الأخرى. يتطلب حل المعادلات المثلثية نفس تقنيات حل المعادلات الجبرية. نقرأ المعادلة من اليسار إلى اليمين ، أفقيًا ، مثل الجملة. نبحث عن الأنماط المعروفة ، والعوامل ، والعثور على قواسم مشتركة ، واستبدال تعبيرات معينة بمتغير لنجعل حل عملية أكثر وضوحًا. ومع ذلك ، مع المعادلات المثلثية ، لدينا أيضًا ميزة استخدام الهويات التي قمنا بتطويرها في الأقسام السابقة.

مثال ( PageIndex {1A} ): حل معادلة خطية مثلثية تتضمن دالة جيب التمام

ابحث عن جميع الحلول الدقيقة الممكنة للمعادلة ( cos theta = dfrac {1} {2} ).

المحلول

من دائرة الوحدة ، نعرف ذلك

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {1} {2} [4pt] theta & = dfrac { pi} {3} ، space dfrac {5 pi} {3} end {align *} ]

هذه هي الحلول في الفاصل ([0،2 pi] ). يتم تقديم جميع الحلول الممكنة بواسطة

[ theta = dfrac { pi} {3} pm 2k pi quad text {and} quad theta = dfrac {5 pi} {3} pm 2k pi nonumber ]

حيث (ك ) عدد صحيح.

مثال ( PageIndex {1B} ): حل معادلة خطية تتضمن دالة الجيب

ابحث عن جميع الحلول الدقيقة الممكنة للمعادلة ( sin t = dfrac {1} {2} ).

المحلول

يعني حل جميع القيم الممكنة لـ (t ) أن الحلول تشمل زوايا تتجاوز فترة (2 pi ). من القسم الخاص بمطابقات الجمع والفرق ، يمكننا أن نرى أن الحلول هي (t = dfrac { pi} {6} ) و (t = dfrac {5 pi} {6} ). لكن المشكلة تطلب جميع القيم الممكنة التي تحل المعادلة. لذلك ، الجواب

[t = dfrac { pi} {6} pm 2 pi k quad text {and} quad t = dfrac {5 pi} {6} pm 2 pi k nonumber ]

حيث (ك ) عدد صحيح.

Howto: إعطاء معادلة مثلثية ، حل باستخدام الجبر

  1. ابحث عن نمط يشير إلى خاصية جبرية ، مثل اختلاف المربعات أو فرصة التحليل.
  2. استبدل التعبير المثلثي بمتغير واحد ، مثل (x ) أو (u ).
  3. حل المعادلة بنفس طريقة حل المعادلة الجبرية.
  4. استبدل التعبير المثلثي مرة أخرى بالمتغير في التعبيرات الناتجة.
  5. حل من أجل الزاوية.

مثال ( PageIndex {2} ): حل المعادلة الخطية المثلثية

حل المعادلة بالضبط: (2 cos theta − 3 = −5 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

استخدم الأساليب الجبرية لحل المعادلة.

[ start {align *} 2 cos theta-3 & = -5 2 cos theta & = -2 cos theta & = -1 theta & = pi end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

حل المعادلة الخطية التالية بالضبط على الفاصل ([0،2 pi) ): (2 sin x + 1 = 0 ).

إجابه

(x = dfrac {7 pi} {6}، space dfrac {11 pi} {6} )

حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية واحدة

عندما نحصل على معادلات تتضمن واحدة فقط من الدوال المثلثية الست ، فإن حلولها تتضمن استخدام التقنيات الجبرية ودائرة الوحدة (انظر [الرابط]). نحتاج إلى وضع العديد من الاعتبارات عندما تتضمن المعادلة دوال مثلثية بخلاف الجيب وجيب التمام. يجب النظر إلى المشكلات التي تنطوي على عمليات تبادل للدوال المثلثية الأولية من منظور جبري. بعبارة أخرى ، سنكتب دالة المقلوب ، ونوجد قيمة الزوايا باستخدام الدالة. أيضًا ، تختلف المعادلة التي تتضمن دالة الظل اختلافًا طفيفًا عن المعادلة التي تحتوي على دالة الجيب أو دالة الجيب. أولاً ، كما نعلم ، فإن فترة الظل هي ( pi ) ، وليست (2 pi ). علاوة على ذلك ، فإن مجال الظل هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء مضاعفات الأعداد الصحيحة الفردية لـ ( dfrac { pi} {2} ) ، ما لم تفرض مشكلة قيودها الخاصة على المجال بالطبع.

حل مشكلة تتضمن دالة مثلثية واحدة

حل المشكلة تمامًا: (2 { sin} ^ 2 theta − 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

نظرًا لأنه لا يمكن تحليل هذه المشكلة بسهولة ، فسنحلها باستخدام خاصية الجذر التربيعي. أولاً ، نستخدم الجبر لعزل ( sin theta ). ثم سنجد الزوايا.

[ ابدأ {محاذاة *}
2 { sin} ^ 2 theta-1 & = 0
2 { sin} ^ 2 ثيتا & = 1
{ sin} ^ 2 theta & = dfrac {1} {2}
sqrt {{ sin} ^ 2 theta} & = pm sqrt { dfrac {1} {2}}
sin theta & = pm dfrac {1} { sqrt {2}}
& = pm dfrac { sqrt {2}} {2}
theta & = dfrac { pi} {4} ، space dfrac {3 pi} {4} ، space dfrac {5 pi} {4} ، space dfrac {7 pi} {4 }
النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {3B} ): حل معادلة مثلثية تتضمن قاطع التمام

حل المعادلة التالية بالضبط: ( csc theta = −2 ) ، (0≤ theta <4 pi ).

المحلول

نريد جميع قيم ( theta ) التي ( csc theta = −2 ) عبر الفاصل (0≤ theta <4 pi ).

[ begin {align *} csc theta & = -2 dfrac {1} { sin theta} & = -2 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6} ، space dfrac {11 pi} {6} ، space dfrac {19 pi} {6} ، space dfrac {23 pi} { 6} end {align *} ]

التحليلات

مثل ( sin theta = - dfrac {1} {2} ) ، لاحظ أن جميع الحلول الأربعة تقع في الربعين الثالث والرابع.

مثال ( PageIndex {3C} ): حل معادلة تتضمن الظل

حل المعادلة تمامًا: ( tan left ( theta− dfrac { pi} {2} right) = 1 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

تذكر أن وظيفة الظل لها فترة ( pi ). على الفاصل ([0، pi) ) وبزاوية ( dfrac { pi} {4} ) ، يكون للماس قيمة (1 ). ومع ذلك ، فإن الزاوية التي نريدها هي ( left ( theta− dfrac { pi} {2} right) ). وبالتالي ، إذا كان ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ) ، إذن

[ begin {align *} theta- dfrac { pi} {2} & = dfrac { pi} {4} theta & = dfrac {3 pi} {4} pm k بي نهاية {محاذاة *} ]

خلال الفترة ([0،2 pi) ) ، لدينا حلين:

( theta = dfrac {3 pi} {4} ) و ( theta = dfrac {3 pi} {4} + pi = dfrac {7 pi} {4} )

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد كل الحلول من أجل ( tan x = sqrt {3} ).

إجابه

( dfrac { pi} {3} pm pi k )

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد جميع حلول المعادلة التي تتضمن الظل

حدد جميع الحلول الدقيقة للمعادلة (2 ( tan x + 3) = 5 + tan x ) ، (0≤x <2 pi ).

المحلول

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام الجبر فقط. افصل التعبير ( tan x ) الموجود على الجانب الأيسر من علامة التساوي.

هناك زاويتان على دائرة الوحدة لهما قيمة ظل الزاوية (- 1 ): ( theta = dfrac {3 pi} {4} ) و ( theta = dfrac {7 pi } {4} ).

حل المعادلات المثلثية باستخدام الآلة الحاسبة

لا يمكن حل جميع الوظائف بالضبط باستخدام دائرة الوحدة فقط. عندما يتعين علينا حل معادلة تتضمن زاوية غير إحدى الزوايا الخاصة ، فسنحتاج إلى استخدام الآلة الحاسبة. تأكد من ضبطه على الوضع المناسب ، إما درجات أو راديان ، اعتمادًا على معايير المشكلة المحددة.

مثال ( PageIndex {5A} ): استخدام الآلة الحاسبة لحل معادلة مثلثية تتضمن جيب الزاوية

استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلة ( sin theta = 0.8 ) حيث ( theta ) بوحدات الراديان.

المحلول

تأكد من ضبط الوضع على راديان. لإيجاد ( theta ) ، استخدم دالة الجيب العكسي. في معظم الآلات الحاسبة ، ستحتاج إلى الضغط على 2اختصار الثاني ثم زر SIN لإظهار الوظيفة ({ sin} ^ {- 1} ). ما يظهر على الشاشة هو ({ sin} ^ {- 1} ) الآلة الحاسبة جاهزة للإدخال داخل الأقواس. لهذه المشكلة ، ندخل ({ sin} ^ {- 1} (0.8) ) ، ونضغط على ENTER. وهكذا ، إلى أربعة منازل عشرية ،

({ sin} ^ {- 1} (0.8) ≈0.9273 )

الحل

( theta≈0.9273 م 2 بي ك )

قياس الزاوية بالدرجات هو

[ begin {align *} theta & almost 53.1 ^ { circ} theta & almost 180 ^ { circ} -53.1 ^ { circ} & almost 126.9 ^ { circ} end {محاذاة *} ]

التحليلات

لاحظ أن الآلة الحاسبة ستعيد الزاوية فقط في الأرباع I أو IV لوظيفة الجيب ، لأن هذا هو نطاق الجيب المعكوس. يتم الحصول على الزاوية الأخرى باستخدام ( pi− theta ).

مثال ( PageIndex {5B} ): استخدام الآلة الحاسبة لحل المعادلة المثلثية التي تتضمن القاطع

استخدم الآلة الحاسبة لحل المعادلة ( sec θ = −4، ) مع إعطاء إجابتك بالتقدير الدائري.

المحلول

يمكننا أن نبدأ ببعض الجبر.

[ begin {align *} sec theta & = -4 dfrac {1} { cos theta} & = -4 cos theta & = - dfrac {1} {4} end {محاذاة *} ]

تأكد من أن الوضع MODE بالتقدير الدائري. الآن استخدم الدالة العكسية لجيب التمام

[ begin {align *} { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} {4} right) & حوالي 1.8235 theta & almost 1.8235 + 2 pi k end {محاذاة *} ]

بما أن ( dfrac { pi} {2} ≈1.57 ) و ( pi≈3.14 ) ، فإن (1.8235 ) بين هذين الرقمين ، وبالتالي فإن ( theta≈1.8235 ) يقع في الربع الثاني . جيب التمام سلبي أيضًا في الربع الثالث. لاحظ أن الآلة الحاسبة ستعيد الزاوية في الأرباع I أو II فقط لدالة جيب التمام ، لأن هذا هو نطاق معكوس جيب التمام. راجع الشكل ( PageIndex {2} ).

إذن ، علينا أيضًا إيجاد قياس الزاوية في الربع III. في الربع الثالث ، الزاوية المرجعية هي ( theta '' pi − 1.8235≈1.3181 ). الحل الآخر في الربع الثالث هو ( ( theta '≈ pi + 1.3181≈4.4597 ).

الحلول هي ( theta≈1.8235 pm 2 pi k ) و ( theta≈4.4597 pm 2 pi k ).

تمرين ( PageIndex {5} )

حل ( cos theta = −0.2 ).

إجابه

( theta≈1.7722 pm 2 pi k ) و ( theta≈4.5110 pm 2 pi k )

حل المعادلات المثلثية بالصيغة التربيعية

حل أ معادلة من الدرجة الثانية قد يكون الأمر أكثر تعقيدًا ، ولكن مرة أخرى ، يمكننا استخدام الجبر كما نفعل مع أي معادلة تربيعية. انظر إلى نمط المعادلة. هل هناك أكثر من دالة مثلثية في المعادلة أم هناك دالة واحدة فقط؟ أي دالة مثلثية تربيع؟ إذا كانت هناك دالة واحدة فقط ممثلة وكان أحد المصطلحين تربيعًا ، ففكر في الشكل القياسي للقيمة التربيعية. استبدل الدالة المثلثية بمتغير مثل (x ) أو (u ). إذا جعل التعويض المعادلة تبدو وكأنها معادلة تربيعية ، فيمكننا استخدام نفس الطرق لحل المعادلات التربيعية لحل المعادلات المثلثية.

مثال ( PageIndex {6A} ): حل معادلة مثلثية في صيغة تربيعية

حل المعادلة بالضبط: ({ cos} ^ 2 theta + 3 cos theta − 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

نبدأ باستخدام الاستبدال واستبدال ( cos theta ) بـ (x ). ليس من الضروري استخدام الاستبدال ، ولكنه قد يجعل حل المشكلة بصريًا أسهل. دع ( cos theta = x ). لدينا

(س ^ 2 + 3 س − 1 = 0 )

لا يمكن تحليل المعادلة إلى عوامل ، لذلك سنستخدم الصيغة التربيعية: (x = dfrac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).

[ begin {align *} x & = dfrac {-3 pm sqrt {{(-3)} ^ 2-4 (1) (-1)}} {2} & = dfrac {- 3 مساءً sqrt {13}} {2} end {align *} ]

استبدل (x ) بـ ( cos theta ) وحل.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {- 3+ sqrt {13}} {2} right) end {align *} ]

لاحظ أنه يتم استخدام علامة + فقط. هذا لأننا حصلنا على خطأ عند حل ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {−3− sqrt {13}} {2} right) ) في آلة حاسبة ، لأن مجال دالة جيب التمام العكسي هو ([−1،1] ). ومع ذلك ، هناك حل ثان:

[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & almost 1.26 end { محاذاة *} ]

يقع هذا الجانب النهائي للزاوية في الربع الأول. نظرًا لأن جيب التمام موجب أيضًا في الربع الرابع ، فإن الحل الثاني هو

[ begin {align *} theta & = 2 pi - { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & almost 5.02 النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {6B} ): حل معادلة مثلثية في صيغة تربيعية بالتحليل إلى عوامل

حل المعادلة بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta − 5 sin theta + 3 = 0 ) ، (0≤ theta≤2 pi ).

المحلول

باستخدام التجميع ، يمكن تحليل هذه المعادلة التربيعية. إما أن تجري الاستبدال الحقيقي ، ( sin theta = u ) ، أو تخيله ، كما نأخذ في الحسبان:

[ start {align *} 2 { sin} ^ 2 theta-5 sin theta + 3 & = 0 (2 sin theta-3) ( sin theta-1) & = 0 qquad text {الآن قم بتعيين كل عامل يساوي الصفر.} 2 sin theta-3 & = 0 2 sin theta & = 3 sin theta & = dfrac {3} {2} sin theta-1 & = 0 sin theta & = 1 end {align *} ]

حل بعد ذلك من أجل ( theta ): ( sin theta ≠ dfrac {3} {2} ) ، لأن نطاق دالة الجيب هو ([−1،1] ). ومع ذلك ، ( sin theta = 1 ) ، بإعطاء الحل ( theta = dfrac { pi} {2} ).

التحليلات

تأكد من التحقق من جميع الحلول في المجال المحدد لأن بعض العوامل ليس لها حل.

تمرين ( PageIndex {6} )

حل ({ sin} ^ 2 theta = 2 cos theta + 2 ) ، (0≤ theta≤2 pi ). [تلميح: إجراء استبدال للتعبير عن المعادلة فقط من ناحية جيب التمام.]

إجابه

( cos theta = −1 ) ( theta = pi )

مثال ( PageIndex {7A} ): حل معادلة مثلثية باستخدام الجبر

حل بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta + sin theta = 0 ؛ space 0≤ theta <2 pi )

المحلول

يجب أن تبدو هذه المشكلة مألوفة لأنها تشبه التربيعية. دع ( sin theta = x ). تصبح المعادلة (2x ^ 2 + x = 0 ). نبدأ بالتحليل:

[ ابدأ {محاذاة *}
2 س ^ 2 + س & = 0
x (2x + 1) & = 0 qquad text {ضع كل عامل مساويًا للصفر.}
س & = 0
2x + 1 & = 0
x & = - dfrac {1} {2} end {align *} ]
بعد ذلك ، استبدل التعبير الأصلي ( sin theta ) عن (x ) في المعادلة. هكذا،
[ start {align *} sin theta & = 0
ثيتا & = 0 ، pi
sin theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {7 pi} {6} ، dfrac {11 pi} {6}
النهاية {محاذاة *} ]

الحلول داخل المجال (0≤ theta <2 pi ) هي ( theta = 0، pi، dfrac {7 pi} {6}، dfrac {11 pi} {6} ).

إذا فضلنا عدم التعويض ، يمكننا حل المعادلة باتباع نفس نمط التحليل وجعل كل عامل مساويًا للصفر.

[ start {align *} { sin} ^ 2 theta + sin theta & = 0 sin theta (2 sin theta + 1) & = 0 sin theta & = 0 theta & = 0، pi 2 sin theta + 1 & = 0 2 sin theta & = -1 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6} ، dfrac {11 pi} {6} end {align *} ]

التحليلات

يمكننا رؤية الحلول على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {3} ). في الفاصل الزمني (0≤ theta <2 pi ) ، يتقاطع الرسم البياني مع (x )-المحور أربع مرات ، في الحلول المذكورة. لاحظ أن المعادلات المثلثية التي تكون في شكل تربيعي يمكن أن تسفر عن أربعة حلول بدلاً من المعادلات التربيعية المتوقعة. في هذا المثال ، كل حل (زاوية) يقابل قيمة الجيب الموجبة سينتج زاويتين من شأنها أن تؤدي إلى تلك القيمة.

يمكننا التحقق من الحلول على دائرة الوحدة من خلال النتيجة في القسم الخاص بهويات الجمع والفرق أيضًا.

مثال ( PageIndex {7B} ): حل المعادلة المثلثية التربيعية في الصورة

حل المعادلة التربيعية في الشكل بالضبط: (2 { sin} ^ 2 theta − 3 sin theta + 1 = 0 ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

يمكننا التحليل باستخدام التجميع. يمكن العثور على قيم الحل لـ ( theta ) في دائرة الوحدة.

[ start {align *} (2 sin theta-1) ( sin theta-1) & = 0 2 sin theta-1 & = 0 sin theta & = dfrac {1 } {2} theta & = dfrac { pi} {6} ، dfrac {5 pi} {6} sin theta & = 1 theta & = dfrac { pi} {2 } نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

حل المعادلة التربيعية (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta = 0 ).

إجابه

( dfrac { pi} {2} ، space dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3} ، space dfrac {3 pi} {2} )

حل المعادلات المثلثية باستخدام المتطابقات الأساسية

بينما يمكن استخدام الجبر لحل عدد من المعادلات المثلثية ، يمكننا أيضًا استخدام المتطابقات الأساسية لأنها تجعل حل المعادلات أبسط. تذكر أن الأساليب التي نستخدمها في الحل ليست هي نفسها المستخدمة في التحقق من الهويات. تنطبق القواعد الأساسية للجبر هنا ، بدلاً من إعادة كتابة جانب واحد من الهوية لمطابقة الجانب الآخر. في المثال التالي ، نستخدم متطابقتين لتبسيط المعادلة.

مثال ( PageIndex {8A} ): استخدم الهويات لحل معادلة

استخدم المتطابقات لحل المعادلة المثلثية بالضبط عبر الفاصل (0≤x <2 pi ).

( cos x cos (2x) + sin x sin (2x) = dfrac { sqrt {3}} {2} )

المحلول

لاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة هو صيغة الفرق في جيب التمام.

[ start {align *} cos x cos (2x) + sin x sin (2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} cos (x-2x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {صيغة الفرق لجيب التمام} cos (-x) & = dfrac { sqrt {3}} {2} qquad text {الاستخدام هوية الزاوية السالبة.} cos x & = dfrac { sqrt {3}} {2} end {align *} ]

من دائرة الوحدة في القسم الخاص بمطابقات الجمع والفرق ، نرى أن ( cos x = dfrac { sqrt {3}} {2} ) عندما (x = dfrac { pi} {6} ، space dfrac {11 pi} {6} ).

مثال ( PageIndex {8B} ): حل المعادلة باستخدام صيغة مزدوجة الزاوية

حل المعادلة بالضبط باستخدام صيغة مزدوجة الزاوية: ( cos (2 theta) = cos theta ).

المحلول

لدينا ثلاثة خيارات من المقادير للتعويض عن الزاوية المزدوجة لجيب التمام. نظرًا لأنه من الأسهل حل دالة مثلثية واحدة في كل مرة ، فسنختار متطابقة الزاوية المزدوجة التي تتضمن جيب التمام فقط:

[ begin {align *} cos (2 theta) & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta-1 & = cos theta 2 { cos} ^ 2 theta - cos theta-1 & = 0 (2 cos theta + 1) ( cos theta-1) & = 0 2 cos theta + 1 & = 0 cos theta & = - dfrac {1} {2} cos theta-1 & = 0 cos theta & = 1 end {align *} ]

لذلك ، إذا ( cos theta = - dfrac {1} {2} ) ، إذن ( theta = dfrac {2 pi} {3} pm 2 pi k ) و ( ثيتا = dfrac {4 pi} {3} pm 2 pi k ) ؛ إذا ( cos theta = 1 ) ، ثم ( ثيتا = 0 مساء 2 بي ك ).

مثال ( PageIndex {8C} ): حل معادلة باستخدام هوية

حل المعادلة بالضبط باستخدام المتطابقة: (3 cos theta + 3 = 2 { sin} ^ 2 theta ) ، (0≤ theta <2 pi ).

المحلول

إذا أعدنا كتابة الجانب الأيمن ، فيمكننا كتابة المعادلة بدلالة جيب التمام:

[ ابدأ {محاذاة *}
3 cos theta + 3 & = 2 { sin} ^ 2 theta
3 cos theta + 3 & = 2 (1 - { cos} ^ 2 ثيتا)
3 cos theta + 3 & = 2-2 { cos} ^ 2 theta
2 { cos} ^ 2 theta + 3 cos theta + 1 & = 0
(2 cos theta + 1) ( cos theta + 1) & = 0
2 كوس ثيتا + 1 & = 0
cos theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3}
cos ثيتا + 1 & = 0
cos ثيتا & = -1
ثيتا & = بي
النهاية {محاذاة *} ]

حلولنا هي ( theta = dfrac {2 pi} {3} ، space dfrac {4 pi} {3} ، space pi ).

حل المعادلات المثلثية ذات الزوايا المتعددة

أحيانًا لا يكون من الممكن حل معادلة مثلثية بمطابقات لها زوايا متعددة ، مثل ( sin (2x) ) أو ( cos (3x) ). عند مواجهة هذه المعادلات ، تذكر أن (y = sin (2x) ) ضغط أفقي بعامل 2 من الدالة (y = sin x ). في الفاصل الزمني (2 pi ) ، يمكننا رسم فترتين من (y = sin (2x) ) ، على عكس دورة واحدة من (y = sin x ). يقودنا ضغط الرسم البياني هذا إلى الاعتقاد بأنه قد يكون هناك ضعف x- تداخلات أو حلول لـ ( sin (2x) = 0 ) مقارنة بـ ( sin x = 0 ). ستساعدنا هذه المعلومات في حل المعادلة.

مثال ( PageIndex {9} ): حل معادلة مثلثية متعددة الزوايا

قم بحل بالضبط: ( cos (2x) = dfrac {1} {2} ) في ([0،2 pi) ).

المحلول

يمكننا أن نرى أن هذه المعادلة هي المعادلة القياسية بمضاعف زاوية. إذا كان ( cos ( alpha) = dfrac {1} {2} ) ، نعلم أن ( alpha ) يقع في الربعين الأول والرابع. بينما ( theta = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) لن ينتج عنها سوى حلول في الربعين الأول والثاني ، فإننا ندرك أن حلول المعادلة ( cos theta = dfrac {1} {2} ) في الربعين الأول والرابع.

لذلك ، فإن الزوايا المحتملة هي ( theta = dfrac { pi} {3} ) و ( theta = dfrac {5 pi} {3} ). لذا ، (2x = dfrac { pi} {3} ) أو (2x = dfrac {5 pi} {3} ) ، مما يعني أن (x = dfrac { pi} {6 } ) أو (x = dfrac {5 pi} {6} ). هل لهذا معنى؟ نعم ، لأن ( cos left (2 left ( dfrac { pi} {6} right) right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) = dfrac {1} {2} ).

هل هناك أي إجابات أخرى محتملة؟ دعونا نعود إلى خطوتنا الأولى.

في الربع الأول ، (2x = dfrac { pi} {3} ) ، لذلك (x = dfrac { pi} {6} ) كما هو موضح. دعونا نلتف حول الدائرة مرة أخرى:

[ ابدأ {محاذاة *}
2x & = dfrac { pi} {3} +2 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {6 pi} {3}
& = dfrac {7 pi} {3}
x & = dfrac {7 pi} {6}
text {ينتج عن دوران آخر}
2x & = dfrac { pi} {3} +4 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {12 pi} {3}
& = dfrac {13 pi} {3}
النهاية {محاذاة *} ]

(x = dfrac {13 pi} {6}> 2 pi ) ، لذا فإن قيمة (x ) هذه أكبر من (2 pi ) ، لذا فهي ليست حلاً في ( [0،2 pi) ).

في الربع الرابع ، (2x = dfrac {5 pi} {3} ) ، لذلك (x = dfrac {5 pi} {6} ) كما هو موضح. دعونا نلتف حول الدائرة مرة أخرى:

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +2 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {6 pi} {3} & = dfrac {11 pi} {3} end {align *} ]

لذلك (x = dfrac {11 pi} {6} ).

ينتج تناوب واحد

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +4 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {12 pi} {3} & = dfrac {17 pi} {3} end {align *} ]

(x = dfrac {17 pi} {6}> 2 pi ) ، لذا فإن قيمة (x ) هذه أكبر من (2 pi ) ، لذا فهي ليست حلاً في ( [0،2 pi) ).

حلولنا هي (x = dfrac { pi} {6} و space dfrac {5 pi} {6} و space dfrac {7 pi} {6} ) و ( dfrac {11 pi} {6} ). لاحظ أنه عندما نحل مشكلة على شكل (sin (nx) = c ) ، يجب أن نلتف حول دائرة الوحدة (n ) مرات.

حل مشاكل المثلث الأيمن

يمكننا الآن استخدام جميع الطرق التي تعلمناها لحل المشكلات التي تتضمن تطبيق خصائص المثلثات القائمة الزاوية ونظرية فيثاغورس. نبدأ بنظرية فيثاغورس المألوفة ،

[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 label {فيثاغورس} ]

ونمذجة معادلة لتناسب الموقف.

مثال ( PageIndex {10A} ): استخدام نظرية فيثاغورس لصياغة معادلة

يجب استبدال أحد الكابلات التي تثبت مركز عجلة London Eye Ferris بالأرض. مركز عجلة فيريس (69.5 ) متر فوق سطح الأرض ، والمرسى الثاني على الأرض (23 ) متر من قاعدة عجلة فيريس. ما هو طول الكابل تقريبًا ، وما هي زاوية الارتفاع (من الأرض إلى مركز عجلة فيريس)؟ راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

المحلول

استخدم نظرية فيثاغورس (المعادلة المرجع {فيثاغورس}) وخصائص المثلثات القائمة الزاوية لنمذجة معادلة تناسب المشكلة. باستخدام المعلومات المعطاة ، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية. يمكننا إيجاد طول الكابل باستخدام نظرية فيثاغورس.

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 {(23)} ^ 2 + {(69.5)} ^ 2 & almost 5359 sqrt {5359} & almost 73.2 مسافة م نهاية {محاذاة *} ]

زاوية الارتفاع هي ( theta ) ، وتتكون من المرساة الثانية على الأرض والكابل الذي يصل إلى مركز العجلة. يمكننا استخدام دالة الظل لإيجاد قياسها. قرّب لأقرب منزلتين عشريتين.

[ begin {align *} tan theta & = 69.523 { tan} ^ {- 1} (69.523) & حوالي 1.2522 & almost 71.69 ^ { circ} end {align *} ]

زاوية الارتفاع تقريبًا (71.7 درجة ) وطول الكابل (73.2 ) مترًا.

مثال ( PageIndex {10B} ): استخدام نظرية فيثاغورس لصياغة مشكلة مجردة

تتطلب لوائح السلامة OSHA وضع قاعدة السلم (1 ) قدم من الحائط لكل (4 ) أقدام من طول السلم. أوجد الزاوية التي يتشكل منها سلم بأي طول مع الأرض والارتفاع الذي يلامس فيه السلم الحائط.

المحلول

لأي طول سلم ، يجب أن تكون القاعدة مسافة من الجدار تساوي ربع طول السلم. بالتساوي ، إذا كانت قاعدة السلم "أ" قدم من الحائط ، سيكون طول السلم (4 أ ) قدم. راجع الشكل ( PageIndex {5} ).

الضلع المجاور لـ ( theta ) هو (أ ) والوتر هو (4 أ ). هكذا،

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {a} {4a} & = dfrac {1} {4} { cos} ^ {- 1} left ( dfrac { 1} {4} right) & حوالي 75.5 ^ { circ} end {align *} ]

يشكل ارتفاع السلم زاوية (75.5 درجة ) مع الأرض. يمكن إيجاد الارتفاع الذي يلامس فيه السلم الجدار باستخدام نظرية فيثاغورس:

[ start {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2 b ^ 2 & = {(4a)} ^ 2-a ^ 2 b ^ 2 & = 16a ^ 2- أ ^ 2 b ^ 2 & = 15a ^ 2 b & = a sqrt {15} end {align *} ]

وهكذا ، يلامس السلم الحائط عند (a sqrt {15} ) قدم من الأرض.

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وتدرب على حل المعادلات المثلثية.

  • حل المعادلات المثلثية
  • حل المعادلات المثلثية II
  • حل المعادلات المثلثية III
  • حل المعادلات المثلثية IV
  • حل المعادلات المثلثية V
  • حل المعادلات المثلثية VI

المفاهيم الرئيسية

  • عند حل المعادلات المثلثية الخطية ، يمكننا استخدام الأساليب الجبرية تمامًا كما نفعل مع حل المعادلات الجبرية. ابحث عن الأنماط ، مثل فرق المربعات ، أو الشكل التربيعي ، أو التعبير الذي يفسح المجال جيدًا للتعويض. راجع المثال ( PageIndex {1} ) ، والمثال ( PageIndex {2} ) ، والمثال ( PageIndex {3} ).
  • يمكن حل المعادلات التي تتضمن دالة مثلثية أو التحقق منها باستخدام دائرة الوحدة. راجع المثال ( PageIndex {4} ) ، والمثال ( PageIndex {5} ) ، والمثال ( PageIndex {6} ) ، والمثال ( PageIndex {7} ).
  • يمكننا أيضًا حل المعادلات المثلثية باستخدام حاسبة الرسوم البيانية. راجع المثال ( PageIndex {8} ) والمثال ( PageIndex {9} ).
  • تظهر العديد من المعادلات التربيعية في الشكل. يمكننا استخدام التعويض لجعل المعادلة تبدو أبسط ، ثم نستخدم نفس الأساليب التي نستخدمها في حل المعادلة التربيعية الجبرية: التحليل ، والصيغة التربيعية ، وما إلى ذلك. انظر المثال ( PageIndex {10} ) ، مثال ( PageIndex { 11} ) ، ومثال ( PageIndex {12} ) ، ومثال ( PageIndex {13} ).
  • يمكننا أيضًا استخدام المتطابقات لحل المعادلة المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {14} ) ، والمثال ( PageIndex {15} ) ، والمثال ( PageIndex {16} ).
  • يمكننا استخدام التعويض لحل معادلة مثلثية متعددة الزوايا ، وهي ضغط دالة مثلثية قياسية. سنحتاج إلى أخذ الضغط في الاعتبار والتحقق من أننا وجدنا جميع الحلول في الفترة الزمنية المحددة. راجع المثال ( PageIndex {17} ).
  • يمكن نمذجة سيناريوهات العالم الحقيقي وحلها باستخدام نظرية فيثاغورس والدوال المثلثية. راجع المثال ( PageIndex {18} ).

أنت لا تفتقد أي شيء: في بعض الأحيان من الممكن دمج مجموعات الحلول بكفاءة.

لاحظ أنه بالنسبة إلى $ sin x = 0 $ ، فإن الحلول $ x = 0 + 2k pi $ ($ ثم "إضافة دوائر كاملة") $ vee x = pi + 2k pi $ ($ pi $ ثم "إضافة دوائر كاملة") يمكن دمجها كـ $ x = k pi $ ($ و 'add نصف الدوائر) ، حيث دائمًا $ k in mathbb$.

ارسم الحلول وأدرك أنك لا "تفتقد" أي شيء: كلتا الطريقتين لكتابة الحلول تحتوي على نفس الزوايا التي "تمر بها" نفس الزوايا.

هذا ليس ممكنًا دائمًا للمعادلات ذات الشكل $ sin x = c $ (فقط إذا كان $ c = k pi $) أو $ cos x = c $ (فقط إذا كان $ c = pi / 2 + k pi $) ، لكنها يكون ممكن دائمًا لـ $ tan x = c $ نظرًا لأن الحلول $ x = arctan c + 2k pi ، vee x = pi + arctan c + 2k pi $ يمكن دمجها دائمًا على أنها $ x = arctan c + k pi $ يمكنك بسهولة رؤية ذلك عن طريق رسم دائرة مثلثية وتصور الحلول.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


تعابير عقلانية

حل المعادلة $ sin (2x) = frac < sqrt <3>>

أوجد جميع حلول المعادلة $ cos left ( frac <3x> <2> right) = - frac < sqrt <2>> <2> $. عبر عن النتائج بالدرجات.

أوجد الحلول الدقيقة للمعادلة $ tan left (- frac <4x> <3> right) = 0.4 $. عبر عن النتائج بالراديان.

حل $ 2 sin left (x right) + sqrt <2> = 0

-180 ^ Circ leq x leq 180 ^ circ $. عبر عن النتائج بالدرجات.

بحث سريع في الآلة الحاسبة

من فضلك قل لي كيف يمكنني تحسين هذا.

مرحبا بكم في MathPortal. مالك موقع الويب هذا هو عالم الرياضيات Milo & # 353 Petrovi & # 263. لقد صممت موقع الويب هذا وكتبت جميع الدروس والصيغ والآلات الحاسبة.


7.5 حل المعادلات المثلثية

يُعرف طاليس من ميليتس (حوالي 625-547 قبل الميلاد) بأنه مؤسس الهندسة. الأسطورة هي أنه حسب ارتفاع الهرم الأكبر بالجيزة في مصر باستخدام نظرية مثلثات متشابهةالذي طوره بقياس ظل عصاه. استنادًا إلى النسب ، فإن لهذه النظرية تطبيقات في عدد من المجالات ، بما في ذلك الهندسة الكسورية والهندسة والهندسة المعمارية. غالبًا ما يتم العثور على زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض باستخدام مثلثات متشابهة.

في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، نظرنا في المتطابقات المثلثية. الهويات صحيحة لجميع القيم في مجال المتغير. في هذا القسم ، نبدأ دراستنا للمعادلات المثلثية لدراسة سيناريوهات العالم الحقيقي مثل إيجاد أبعاد الأهرامات.

حل المعادلات المثلثية الخطية في الجيب وجيب التمام

المعادلات المثلثية هي ، كما يوحي الاسم ، معادلات تتضمن الدوال المثلثية. متشابهة من نواحٍ عديدة لحل المعادلات متعددة الحدود أو المعادلات المنطقية ، فقط القيم المحددة للمتغير ستكون حلولًا ، إذا كانت هناك حلول على الإطلاق. غالبًا ما نحل المعادلة المثلثية خلال فترة زمنية محددة. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، سيُطلب منا إيجاد جميع الحلول الممكنة ، وبما أن الدوال المثلثية دورية ، تتكرر الحلول خلال كل فترة. بمعنى آخر ، قد تحتوي المعادلات المثلثية على عدد لا حصر له من الحلول. بالإضافة إلى ذلك ، مثل المعادلات المنطقية ، يجب النظر في مجال الوظيفة قبل أن نفترض أن أي حل صالح. دورة دالة الجيب ودالة جيب التمام هي 2 π. 2 π. بمعنى آخر ، كل 2 π 2 وحدة ، فإن ص-تكرار القيم. إذا أردنا إيجاد جميع الحلول الممكنة ، فعلينا إضافة 2 π k ، 2 π k ، حيث k k عدد صحيح ، إلى الحل الأولي. تذكر القاعدة التي تعطي التنسيق لذكر جميع الحلول الممكنة لوظيفة حيث تكون الفترة 2 π: 2 π:

توجد قواعد مماثلة للإشارة إلى جميع الحلول الممكنة للدوال المثلثية الأخرى. يتطلب حل المعادلات المثلثية نفس تقنيات حل المعادلات الجبرية. نقرأ المعادلة من اليسار إلى اليمين ، أفقيًا ، مثل الجملة. نبحث عن الأنماط المعروفة ، والعوامل ، والعثور على قواسم مشتركة ، واستبدال تعبيرات معينة بمتغير لنجعل حل عملية أكثر وضوحًا. ومع ذلك ، مع المعادلات المثلثية ، لدينا أيضًا ميزة استخدام الهويات التي قمنا بتطويرها في الأقسام السابقة.

مثال 1

حل معادلة خطية مثلثية تتضمن دالة جيب التمام

أوجد كل الحلول الدقيقة الممكنة للمعادلة cos θ = 1 2. كوس θ = 1 2.


مثال 1

  • حل من أجل cos (x)
    كوس س = 1/2
  • حل من أجل x بإيجاد جميع القيم في الفترة [0، 2pi) التي تحقق المعادلة المثلثية أعلاه. في هذه الحالة ، مع وجود جيب التمام موجب ويساوي 1/2 ، توجد قيمتان: واحدة في الربع الأول من دائرة الوحدة.
    س 1 = بي / 3
  • والثاني في الربع الرابع (انظر الحلين في دائرة الوحدة في الشكل أدناه).
    x2 = 2*pi - pi / 3 = 5*pi / 3

  • find all solutions using the fact that of cos x has a period of 2pi
    x1 = pi / 3 + 2*k*pi
    x2 = 5*pi / 3 + 2*k*pi
    where k is any integer

مثال 2

  • change cos 2 x to 1 - sin 2 x
    -5(1 - sin 2 x) + 9 sin x = -3
  • multiply factors and group to obtain
    5 sin 2 x + 9 sin x -2 = 0
  • let u = sinx and substitute to obtain an quadratic equation.
    5 u 2 + 9 u - 2 = 0
  • use any method to solve for u. By the quadratic formula, we obtain two solutions u1 and u2
    u1 = [ -9 - sqrt(121) ] / 10 = 1 / 5 = -2

مثال 3

  • subtract cot x from both sides of the equation and simplify
    cot x cos 2 x - cot x = 0
  • Factor cot x
    cot x (cos 2 x - 1) = 0
  • Setting each factor in the above trigonometric equation to zero, we obtain two equations.
    cot x = 0 and cos 2 x - 1 = 0
  • The solutions to equation cot x = 0 are given by
    x = pi / 2 + k*pi , k is am integer.
  • Equation cos 2 x - 1 = 0 gives
    cos x = 1 and cos x = -1
  • The solutions to the above equations are given by
    x = 2k*pi and x = (2k + 1)*pi where k is an integer
  • HOWEVER the above cannot be solution to the given equation since cot x is undefined for x = 2k*pi and x = (2k + 1)*pi.
    conclusion: The solutions to the given equation are.
    x = pi / 2 + k*pi where k is an integer.

Note that many of the techniques used in solving algebraic equations are also used to solve trigonometric equations.


Practice Questions

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

sin 2  x ( sin 2  x - 1)  =  0

Since we choose the values between 0 to 360, the solution will be <0,   π/2,  π, ਃ π/2>.

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

By factoring the quadratic equation, we get

For negative values of cos, we have to select the angle from 2nd and 3rd quadrants.

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

By factoring the quadratic equation, we get

For positive value of sin, we have to select angles from 2nd quadrant

Solve the following equation for which solutions lies in the interval 0 °  ≤ θ < 360 °

2sin 2 x - 3 sin x + 1 - 1  =  0

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


Find the principal value of the following

Principal value of x must be in  [0, π].  Since cos x is positive the principal value is in the first quadrant.

We have to think about the angle of cos for which we get the value  √3/2.

Hence the principal value of x is  π/6.

Find the principal value of the following

Whenever we have cos  θ the p rincipal value of  θ  must be in  [0, π].  We have to choose one of the angles from  the first or second quadrant.

Since the value of cos  θ  is negative, we have to choose the angle from the second quadrant. For that w e have to think about the angle of cos for which we get the value  √3/2. 

Hence the principal value of  θ  is 5 π/6.

Find the principal value of the following

θ lies in the third or fourth quadrant. But principal value must be in  [- π/2,  π/2]

In the first quadrant we get only we get positive values  for all trigonometric ratios.S o we have to choose one of the angles from 0 to  - π/2 that is negative angle.

Now w e have to think about the angle of sin for which we get the value  √3/2.

Hence the principal value of  θ is  - π/3.

بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


مثال 1

Hence the solutions:
┱ = π - θr = π - π/6 = 5π/6
┲ = π + θr = π + π/6 = 7π/6
Use the solutions on the interval [0 , 2π) to find all solutions by adding multiples of 2π as follows:
┱ = 5π/6 + 2nπ , n = 0,

2, .
Below are shown the graphical solutions on the interval [0 , 2π)

مثال 2

Hence the solutions:
┱ = π + θr = 7π/6
┲ = 2π - θr = 11π/6
Use the solutions on the interval [0 , 2π) to find all solutions by adding multiples of 2π as follows:
┱ = 7π/6 + 2nπ , n = 0,

مثال 3

2, .
We now substitute ┱ and ┲ by the expression 3x + π/4
3x + π/4 = 3π/4 + 2nπ
3x + π/4 = 5π/4 + 2nπ
and solve for x to obtain the solutions for x.
x = π/6 + 2nπ/3 , n = 0,

مثال 4

2, .
Solve equation (2)
cos x = 1
x 3 = 2nπ , n = 0,


3.5: Solving Trigonometric Equations - Mathematics

If you would like an review of trigonometry, click on trigonometry.


Solve for x in the following equation.

There are an infinite number of solutions to this problem. To solve for x, you must first isolate the sine term.

If we restriction the domain of the sine function to , we can use the inverse sine function to solve for reference angle 3x and then x.

We know that the e function is positive in the first and the second quadrant. Therefore two of the solutions are the angle 3 x that terminates in the first quadrant and the angle that terminates in the second quadrant. We have already solved for 3 x .

The period of the function is This means that the values will repeat every radians in both directions. Therefore, the exact solutions are and where n is an integer.

The approximate solutions are and where n is an integer.

These solutions may or may not be the answers to the original problem. You much check them, either numerically or graphically, with the original equation.

Check the answer x =0.174532925

Since the left side equals the right side when you substitute 0.174532925for x, then 0.174532925 is a solution.


Check the answer x =0.872665

Since the left side equals the right side when you substitute for x, then is a solution.

Note that the graph crosses the x-axis many times indicating many solutions. You can see that the graph crosses at 0.174532925. Since the period is , it crosses again at 0.174532925+2.094395=2.2689 and at 0.174532925+2(2.094395)=4.3633, etc. The graph crosses at 0.872665.

Since the period is , it will cross again at and at 0.872665+2(2.094395)=5.061455, etc

If you would like to work another example, click on Example.

If you would like to test yourself by working some problems similar to this example, click on Problem.

IF you would like to go to the next section, click on Next.

If you would like to go back to the equation table of contents, click on Contents.

This site was built to accommodate the needs of students. The topics and problems are what students ask for. We ask students to help in the editing so that future viewers will access a cleaner site. If you feel that some of the material in this section is ambiguous or needs more clarification, please let us know by e-mail.


شاهد الفيديو: الدرس الرابع: المعادلات المثلثية. الوحده 5 - الفصل 2. رياضيات الصف التاسع (شهر نوفمبر 2021).